Inne zagadnienia
Zadanie 31, sierpień 2025, poziom podstawowy
Hotel ma do dyspozycji gości \(80\) pokoi jednoosobowych. Przy wyjściowej cenie \(120\) zł za dobę wszystkie pokoje są wynajęte, a każdy wzrost ceny za dobę o \(5\) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(1\).
Dobowy przychód \(P\) hotelu, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej o \(5x\) złotych, opisuje funkcja
\[P(x)=(80-x)(120+5x),\]
gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(0\leq x\leq80\).
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju za dobę, aby dobowy przychód hotelu był największy. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Cena za dobę powinna wynosić \(260\) zł.
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy podany wzór przychodu:
\[P(x)=(80-x)(120+5x)=9600+400x-120x-5x^{2}=-5x^{2}+280x+9600.\]
Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-5<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku.
Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi
\[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{280}{2\cdot(-5)}=28.\]
Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\leq x\leq80\), należy więc do dziedziny — maksimum jest osiągane wewnątrz rozważanego zbioru, a nie na jego krańcu.
Zmienna \(x\) oznacza liczbę podwyżek po \(5\) zł, zatem szukana cena to
\[120+5\cdot28=120+140=260\ \text{zł}.\]
**Odpowiedź.** Cena wynajęcia pokoju za dobę powinna wynosić \(260\) zł (przychód wynosi wtedy \(P(28)=52\cdot260=13\,520\) zł).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik: cena \(260\) zł
**1 pkt** – obliczenie liczby podwyżek \(x=28\) albo równoważne wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową — wyznaczenie wierzchołka paraboli, sprawdzenie przynależności argumentu do dziedziny modelu i zinterpretowanie wyniku w kontekście zadania.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
