Optymalizacja
Zadanie 30, sierpień 2024, poziom podstawowy
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa \(12\).
**Wyznacz \(x\) oraz \(y\), dla których wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku
\[x+y=12\]
otrzymujemy \(y=12-x\). Ponieważ \(x\geq0\) i \(y\geq0\), mamy \(x\in[0,12]\).
Wyrażenie zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej:
\[f(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144.\]
Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej:
\[f(x)=3(x^2-8x)+144=3\bigl((x-4)^2-16\bigr)+144=3(x-4)^2+96.\]
Ponieważ \(3(x-4)^2\geq0\), najmniejsza wartość funkcji jest równa \(96\) i jest przyjmowana dla \(x=4\). Wtedy
\[y=12-4=8.\]
Zatem
\[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest równa \(96\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\), oraz obliczenie argumentu minimum \(x=4\) albo wartości minimum \(96\); równoważnie: zapisanie \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) oraz obliczenie \(y=8\) albo wartości \(96\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru opisującego \(2x^2+y^2\) jako funkcję jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\) albo \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
**Uwagi CKE:** argument minimum musi należeć do przedziału \([0,12]\). Samo sprawdzenie kilku par \((x,y)\), bez poprawnego modelu funkcji jednej zmiennej i bez odwołania do własności funkcji kwadratowej, nie uzasadnia pełnego wyniku.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
