Optymalizacja
Zadanie 33, sierpień 2023, poziom podstawowy
Zakład sprzedaje krzesła po \(196\text{ zł}\) za sztukę. Przychód ze sprzedaży \(x\) krzeseł określa funkcja
\[P(x)=196x,\]
a koszt produkcji funkcja
\[K(x)=4x^2+4x+240.\]
Dziennie można wyprodukować najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz liczbę krzeseł, których sprzedaż daje największy zysk, oraz wartość tego zysku. **Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\(24\) krzesła; maksymalny zysk \(2064\text{ zł}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zysk jest różnicą przychodu i kosztu:
\[Z(x)=P(x)-K(x)=196x-(4x^2+4x+240)=-4x^2+192x-240.\]
Rozpatrujemy całkowite \(x\) spełniające \(0\leq x\leq30\). Parabola ma ramiona skierowane w dół, a współrzędna jej wierzchołka wynosi
\[x_w=-\frac{192}{2\cdot(-4)}=24.\]
Największy zysk to
\[Z(24)=-4\cdot24^2+192\cdot24-240=2064\text{ zł}.\]
Największy zysk uzyskuje się zatem przy sprzedaży \(24\) krzeseł.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyniki: \(24\) krzesła i maksymalny zysk \(2064\text{ zł}\)
**3 pkt** – wyznaczenie argumentu maksimum \(x=24\)
**2 pkt** – zapisanie funkcji zysku \(Z(x)=-4x^2+192x-240\)
**1 pkt** – zapisanie zależności \(Z(x)=P(x)-K(x)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** optymalizacja - maksymalizacja funkcji kwadratowej w zadaniu praktycznym.
