Równania i nierówności
Zadanie 11, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), określonej wzorem \(f(x)=(x-1)\cdot(5-x)\), w przedziale \(\langle 0,7\rangle\).
Odpowiedź
Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(x-1)(5-x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Kluczowa własność: funkcja kwadratowa na przedziale DOMKNIĘTYM przyjmuje wartość największą i najmniejszą albo w wierzchołku paraboli, albo na końcach przedziału. Wystarczy więc porównać trzy liczby: \(f\) w wierzchołku (o ile wierzchołek należy do przedziału) oraz \(f\) na obu końcach.
**Krok \(2\).** Ustalamy kierunek ramion. Wymnażamy:
\[f(x)=(x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x=-x^2+6x-5.\]
Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\lt0\), więc ramiona paraboli są skierowane W DÓŁ. To znaczy, że w wierzchołku jest wartość NAJWIĘKSZA, a najmniejsza musi wypaść na końcu przedziału.
**Krok \(3\).** Wyznaczamy wierzchołek. Najprościej z postaci iloczynowej: miejsca zerowe to \(1\) i \(5\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku:
\[x_w=\frac{1+5}{2}=3\qquad(\text{lub ze wzoru } x_w=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{6}{-2}=3).\]
Wartość: \(f(3)=(3-1)(5-3)=2\cdot2=4\).
**Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy \(x_w=3\) należy do przedziału \(\langle0,7\rangle\). Tak, należy, więc największą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest \(f(3)=4\).
**Krok \(5\).** Obliczamy wartości na obu końcach:
\[f(0)=(0-1)(5-0)=(-1)\cdot5=-5,\]
\[f(7)=(7-1)(5-7)=6\cdot(-2)=-12.\]
**Krok \(6\).** Porównujemy: \(-12\lt-5\), więc najmniejszą wartością jest \(f(7)=-12\).
**Uwaga.** Pułapką jest odruch „skoro ramiona w dół, to najmniejszej wartości nie ma”. Na całej prostej rzeczywiście jej nie ma, ale na przedziale DOMKNIĘTYM już tak — jest przyjmowana na jednym z końców. Trzeba sprawdzić OBA końce, bo przedział \(\langle0,7\rangle\) nie jest symetryczny względem \(x_w=3\): punkt \(7\) leży dalej od wierzchołka niż \(0\), i to on daje mniejszą wartość.
**Odpowiedź.** Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).
Klucz i zasady oceniania
**2. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(0)=-5\).
**3. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(7)=-12\).
**4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Funkcja \(f\) w przedziale \(0;7\) osiąga największą wartość równą \(4\), zaś najmniejszą równą \((-12)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
