Funkcja kwadratowa
Zadanie 30, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(AB\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek).
Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).
**Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P(x)=-26x^2+96x,\qquad D_P=(0,3),\qquad x=\frac{24}{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy \(|AB|=x\) oraz \(|AE|=3x\). Oznaczmy \(|AD|=y\). Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest równa
\[4x+4y+4\cdot3x=48.\]
Po podzieleniu przez \(4\):
\[x+y+3x=12,\qquad y=12-4x.\]
Pole powierzchni całkowitej wynosi
\[P=2(xy+x\cdot3x+y\cdot3x).\]
Podstawiamy \(y=12-4x\):
\[P(x)=2[x(12-4x)+3x^2+3x(12-4x)]\]
\[=2(-13x^2+48x)=-26x^2+96x.\]
Wszystkie długości muszą być dodatnie:
\[x>0,\qquad 12-4x>0,\qquad 3x>0,\]
więc
\[D_P=(0,3).\]
Wykres funkcji \(P\) jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa
\[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{96}{2\cdot(-26)}=\frac{24}{13}.\]
Ponieważ \(\frac{24}{13}\in(0,3)\), dla tej wartości funkcja przyjmuje wartość największą. Zatem szukana długość wynosi
\[x=\frac{24}{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: \(P(x)=-26x^2+96x\), \(D_P=(0,3)\), \(x=\frac{24}{13}\)
**3 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji i wyznaczenie jej dziedziny; albo zapisanie poprawnego wzoru funkcji i prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka \(x=\frac{24}{13}\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru \(P(x)=-26x^2+96x\); albo zapisanie zależności między długościami krawędzi i wyznaczenie \(x\in(0,3)\)
**1 pkt** – zapisanie zależności \(4x+4|AD|+4\cdot3x=48\); albo wyznaczenie dziedziny \(x\in(0,3)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
