Funkcja kwadratowa
Zadanie 30, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12\,\mathrm{dm}\), a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18\,\mathrm{dm}\).
**Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Krótsza podstawa powinna mieć długość \(3\,\mathrm{dm}\), a największe pole wynosi \(112{,}5\,\mathrm{dm}^2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy krótszą podstawę przez \(b\), a wysokość przez \(h\). Z warunku zadania \(b+h=18\), więc \(h=18-b\). Pole trapezu jest funkcją
\[P(b)=\frac12(12+b)(18-b)=-\frac12b^2+3b+108,\qquad b\in(0,12).\]
Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi
\[b=-\frac{3}{2\cdot(-\frac12)}=3.\]
Dla \(b=3\) mamy \(h=15\) oraz
\[P(3)=\frac12(12+3)\cdot15=112{,}5\,\mathrm{dm}^2.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda, \(b=3\,\mathrm{dm}\) i \(P_{\max}=112{,}5\,\mathrm{dm}^2\)
**3 pkt** – poprawny wzór na pole jako funkcję jednej zmiennej i wyznaczenie argumentu maksimum \(b=3\) albo \(h=15\)
**2 pkt** – poprawny wzór \(P(b)=\frac12(12+b)(18-b)\) albo \(P(h)=\frac12(30-h)h\)
**1 pkt** – zapisanie \(b+h=18\) oraz wzoru \(P=\frac12(12+b)h\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
