Inne zagadnienia
Zadanie 34, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^{2}+bx+c\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(100\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \((-2,8)\).
Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Odpowiedź
\[a=-4,\qquad b=24,\qquad c=64.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiorem argumentów, dla których \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ograniczony \((-2,8)\). Oznacza to, że parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-2\) i \(8\), a jej ramiona są skierowane w dół, czyli \(a<0\) (dla \(a>0\) zbiorem tym byłaby suma dwóch półprostych).
Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej:
\[f(x)=a(x+2)(x-8).\]
Największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna leży w połowie odległości między miejscami zerowymi:
\[p=\frac{-2+8}{2}=3.\]
Z warunku \(f(3)=100\):
\[a\cdot(3+2)\cdot(3-8)=100,\qquad a\cdot5\cdot(-5)=100,\qquad -25a=100,\qquad a=-4.\]
Warunek \(a<0\) jest spełniony.
Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej:
\[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4\left(x^{2}-6x-16\right)=-4x^{2}+24x+64.\]
**Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\)
**4 pkt** – spełnienie progu na \(3\) pkt oraz obliczenie jednej z liczb \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\)
**3 pkt** – zapisanie postaci iloczynowej i współrzędnych wierzchołka albo zapisanie postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-3)^{2}+100\)
**2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+2)(x-8)\) albo obliczenie współrzędnych wierzchołka \((3,100)\)
**1 pkt** – wskazanie miejsc zerowych \(-2\) i \(8\), albo współrzędnej \(q=100\), albo osi symetrii \(x=3\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie miejsc zerowych i wartości największej; przejście między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
