Inne zagadnienia
Zadanie 31, maj 2025, poziom podstawowy
Rozważamy prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\), a suma długości trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\). Funkcja \(P(x)\) oznacza pole powierzchni całkowitej w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[P(x)=-2x^{2}+22x+88,\qquad D_P=(0,11),\qquad x=\frac{11}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że z wierzchołka \(B\) wychodzą trzy krawędzie prostopadłościanu: \(BA\), \(BC\) oraz \(BF\), przy czym \(|AB|=x\) i \(|BC|=4\).
**Wzór i dziedzina.** Z warunku na sumę długości tych krawędzi
\[x+4+|BF|=15,\qquad\text{czyli}\qquad |BF|=11-x.\]
Długości krawędzi muszą być dodatnie, więc \(x>0\) oraz \(11-x>0\). Stąd
\[D_P=(0,11).\]
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) wynosi \(2(ab+bc+ca)\), zatem
\[P(x)=2\bigl(4x+x(11-x)+4(11-x)\bigr)=2\left(4x+11x-x^{2}+44-4x\right)=-2x^{2}+22x+88.\]
**Maksimum.** Funkcja \(P\) jest kwadratowa o współczynniku \(a=-2<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku:
\[x_w=-\frac{22}{2\cdot(-2)}=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}.\]
Liczba \(\frac{11}{2}=5{,}5\) należy do dziedziny \((0,11)\), więc maksimum jest osiągane wewnątrz dziedziny i jest maksimum globalnym na całym tym przedziale.
**Odpowiedź.** \(P(x)=-2x^{2}+22x+88\) dla \(x\in(0,11)\); pole powierzchni całkowitej jest największe dla \(|AB|=\frac{11}{2}\) i wynosi wtedy \(P\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{297}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyznaczenie wzoru \(P(x)=-2x^{2}+22x+88\), dziedziny \(D_P=(0,11)\) i argumentu maksimum \(x=\frac{11}{2}\)
**3 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(P\) wraz z dziedziną
**2 pkt** – zapisanie zależności między długościami krawędzi \(BF\) i \(AB\), na przykład \(x+4+|BF|=15\), oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej w zależności od \(x\) i \(|BF|\): \(P=2\left(4x+x\cdot|BF|+4\cdot|BF|\right)\)
**1 pkt** – zapisanie zależności \(|BF|=11-x\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu funkcyjnego opisującego pole powierzchni bryły, wyznaczanie dziedziny wynikającej z warunków geometrycznych oraz rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera pełnej tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
