Inne zagadnienia
Zadanie 31, maj 2024, poziom podstawowy
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt, którego wymiary oznaczono przez \(x\) oraz \(y\). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki.
**Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=4{,}5\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość całej siatki opisuje równanie
\[4x+6y=36,\]
więc
\[y=6-\frac23x.\]
Suma pól trzech wybiegów jest równa
\[P=3xy.\]
Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy
\[P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)=-2x^2+18x,\qquad x\in(0,9).\]
Wykres tej funkcji jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi
\[x=-\frac{18}{2\cdot(-2)}=4{,}5.\]
Wtedy
\[y=6-\frac23\cdot4{,}5=3.\]
Suma pól jest największa dla \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\) oraz \(y=3\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta i wynik \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\), \(y=3\ \mathrm{m}\)
**3 pkt** – poprawny wzór opisujący pole jako funkcję jednej zmiennej oraz poprawne wyznaczenie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje wartość największą: \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\) albo \(y=3\ \mathrm{m}\)
**2 pkt** – poprawny wzór opisujący sumę pól albo pole jednego wybiegu jako funkcję jednej zmiennej, np. \(P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)\)
**1 pkt** – poprawna zależność między wymiarami a długością siatki, np. \(4x+6y=36\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
