Równania i nierówności
Zadanie 33, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.
Odpowiedź
W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy \(AD=4\sqrt{3}\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\) oraz \(AB=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}=6\), więc promień podstawy jest równy \(r=3\). Objętość walca wynosi \(V=\pi r^{2}AD=18\sqrt{3}\pi\), a pole powierzchni całkowitej \(P_c=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot AD=18\pi+12\sqrt{3}\pi=6\pi(3+2\sqrt{3})\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: wyznaczenie r = \(3\) albo H = \(2\sqrt{3}\), ewentualnie zapisanie układu równań trygonometrycznych.
**Krok \(2\).** pkt: wyznaczenie r = \(3\) i H = \(2\sqrt{3}\).
**Krok \(3\).** pkt: poprawne obliczenie objętości \(18\pi \)√\(3\) albo pola całkowitego \(18\pi \) + \(12\pi \)√\(3\).
**Krok \(4\).** pkt: poprawne obliczenie obu wielkości.
**Odpowiedź.** W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy \(AD=4\sqrt{3}\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\) oraz \(AB=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}=6\), więc promień podstawy jest równy \(r=3\). Objętość walca wynosi \(V=\pi r^{2}AD=18\sqrt{3}\pi\), a pole powierzchni całkowitej \(P_c=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot AD=18\pi+12\sqrt{3}\pi=6\pi(3+2\sqrt{3})\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie r = 3 albo H = 2√3, ewentualnie zapisanie układu równań trygonometrycznych.
2 pkt: wyznaczenie r = 3 i H = 2√3.
3 pkt: poprawne obliczenie objętości 18π√3 albo pola całkowitego 18π + 12π√3.
4 pkt: poprawne obliczenie obu wielkości.
Wymagania podstawy programowej
1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca lub promieniem podstawy walca), np.: \(\frac{H}{4\sqrt{3}}=\sin 30^{\circ}\), \(\frac{2r}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
