Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 31, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy **bez zwracania** kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Wszystkich uporządkowanych wyników losowania bez zwracania jest \(6\cdot5=30\). Zdarzeniu \(A\) sprzyjają pary \((4,5)\), \((4,6)\), \((4,7)\), \((6,3)\), \((6,4)\), \((6,5)\), \((6,7)\), czyli \(7\) wyników. Zatem \(P(A)=\frac{7}{30}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy bez zwracania i zapisujemy liczby w kolejności losowania, więc kolejność ma znaczenie: zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary różnych liczb ze zbioru \(K\). Wszystkie takie pary są jednakowo prawdopodobne, więc stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Z reguły mnożenia
\[|\Omega|=6\cdot5=30.\]
Zdarzenie \(A\) wymaga jednocześnie dwóch warunków: pierwsza liczba jest parzysta oraz iloczyn obu liczb przekracza \(16\). Liczby parzyste w zbiorze \(K\) to \(2\), \(4\) i \(6\); rozpatrujemy je kolejno jako pierwszy wynik.
Gdy pierwsza liczba to \(2\), iloczyn \(2b\) dla \(b\leq7\) nie przekracza \(14\), więc żadna para nie sprzyja.
Gdy pierwsza liczba to \(4\), potrzeba \(4b>16\), czyli \(b>4\). Daje to pary \((4,5)\), \((4,6)\), \((4,7)\).
Gdy pierwsza liczba to \(6\), potrzeba \(6b>16\), czyli \(b>\frac83\), a więc \(b\geq3\). Daje to pary \((6,3)\), \((6,4)\), \((6,5)\), \((6,7)\) — liczby \(6\) nie bierzemy, bo losujemy bez zwracania.
Łącznie \(|A|=3+4=7\), zatem
\[P(A)=\frac{7}{30}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac7{30}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne określenie liczby wyników |Ω| = 30 albo wszystkich siedmiu wyników sprzyjających, ewentualnie równoważny pełny model.
2 pkt: poprawna metoda i wynik P(A) = 7/30. Losowanie ze zwracaniem daje 0 pkt.
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. XII.1) Zdający oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
