Optymalizacja
Zadanie 32, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem
\[P(x)=(70-x)(20+x),\]
gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq0\) i \(x\leq60\).
**Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedzi spośród A-E.**
\(1\). Przychód jest największy dla \(x\) równego ... .
\(2\). Przychód wynosi \(800\) zł dla \(x\) równego ... .
**A.** \(25\)
**B.** \(30\)
**C.** \(45\)
**D.** \(50\)
**E.** \(60\)
Odpowiedź
**\(32\).\(1\). A.** \(25\)
**\(32\).\(2\). E.** \(60\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy wzór funkcji przychodu:
\[P(x)=(70-x)(20+x)=-x^2+50x+1400.\]
Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna \(x\) wierzchołka wynosi
\[x_w=-\frac{50}{2\cdot(-1)}=25,\]
więc największy przychód uzyskuje się dla \(x=25\).
Rozwiązujemy równanie \(P(x)=800\):
\[-x^2+50x+1400=800,\]
\[x^2-50x-600=0.\]
Mamy \(\Delta=4900\), więc
\[x=\frac{50\pm70}{2}.\]
Otrzymujemy \(x=60\) lub \(x=-10\). Warunki \(0\leq x\leq60\) spełnia tylko \(x=60\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **A** i **E**
**1 pkt** – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi
**0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
