Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 31, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Dwukrotnie rzucamy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim.
Odpowiedź
Jest \(6\cdot 6=36\) równoprawdopodobnych wyników. Pierwszy wynik jest większy od drugiego dla \(5+4+3+2+1=15\) par, więc P(A)=\(\frac{15}{36=5}\)/\(12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary wyników obu rzutów. Kostka jest symetryczna, więc wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne i możemy zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\).
\[|\Omega|=6\cdot6=36.\]
Zliczamy pary, w których pierwszy wynik jest większy od drugiego, grupując je według pierwszego rzutu: przy wyniku \(2\) drugi rzut może dać \(1\) wynik, przy \(3\) — \(2\) wyniki, i tak dalej aż do \(6\), przy którym drugi rzut może dać \(5\) wyników. Zatem
\[|A|=1+2+3+4+5=15.\]
Stąd
\[P(A)=\frac{15}{36}=\frac5{12}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac5{12}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie 36 wyników albo 15 wyników sprzyjających.
2 pkt: poprawna metoda i P(A)=15/36=5/12.
Wymagania podstawy programowej
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1. ze standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu \(A\), lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. \(|A|=14\)) i konsekwentnie zapisze wynik (np. \(\frac{14}{36}\)), to otrzymuje 2 punkty.
