Optymalizacja
Zadanie 33, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\text{ m}\) oraz \(|CD|=100\text{ m}\). Wysokość trapezu jest równa \(75\text{ m}\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek).
**Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.**
*Wskazówka:* Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\):
\[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}.\]
Odpowiedź
Boki \(50\text{ m}\) i \(200\text{ m}\); największe pole \(10\ 000\text{ m}^2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza wysokość prostokąta, a \(y=|EF|\) jego drugi bok. Z porównania pól trapezów zgodnie ze wskazówką:
\[\frac{100+400}{2}\cdot75=\frac{400+y}{2}x+\frac{100+y}{2}(75-x).\]
Po uproszczeniu otrzymujemy
\[y=400-4x.\]
Pole prostokąta jest więc funkcją
\[P(x)=x(400-4x)=-4x^2+400x,\qquad x\in(0,75].\]
Parabola ma ramiona skierowane w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi
\[x=-\frac{400}{2\cdot(-4)}=50.\]
Wtedy
\[y=400-4\cdot50=200,\]
a największe pole jest równe
\[P(50)=50\cdot200=10\ 000\text{ m}^2.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyniki: \(50\text{ m}\times200\text{ m}\) i \(10\ 000\text{ m}^2\)
**3 pkt** – zapisanie dziedziny \(x\in(0,75]\) oraz wyznaczenie argumentu maksimum \(x=50\text{ m}\)
**2 pkt** – zapisanie wzoru \(P(x)=x(400-4x)\)
**1 pkt** – zapisanie zależności \(y=400-4x\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja oraz przeprowadzanie rozumowań kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
