Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 11, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
Prosta o równaniu
\[3x+y+2=0\]
przecina parabolę o równaniu
\[y=x^2-2x-8\]
w punktach \(A\) i \(B\), które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Pierwsza współrzędna punktu \(A\) jest ujemna. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu
\[y=-\frac12x+1,\]
ma dodatnią pierwszą współrzędną, a jego odległość od prostej \(AB\) jest równa \(\frac{9\sqrt{10}}5\).
Oblicz długość boku \(BC\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[|BC|=2\sqrt{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty \(A\) i \(B\) spełniają układ
\[\begin{cases}y=x^2-2x-8,\\3x+y+2=0.\end{cases}\]
Po podstawieniu otrzymujemy \(x^2+x-6=0\), więc, zgodnie z oznaczeniami w zadaniu,
\[A=(-3,7),\qquad B=(2,-8).\]
Niech \(C=(c,-\frac12c+1)\), gdzie \(c>0\). Z warunku odległości od prostej \(3x+y+2=0\):
\[\frac{|3c+(-\frac12c+1)+2|}{\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}5.\]
Stąd \(|2,5c+3|=18\), zatem \(c=6\) albo \(c=-\frac{42}{5}\). Warunek \(c>0\) daje \(C=(6,-2)\). Wobec tego
\[|BC|=\sqrt{(6-2)^2+(-2+8)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie składa się z trzech etapów.
**Etap 1: 2 pkt** – obliczenie \(A=(-3,7)\) i \(B=(2,-8)\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą
**Etap 2: 3 pkt** – obliczenie \(C=(6,-2)\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego równania odległości z jedną niewiadomą
**1 pkt** – uzależnienie jednej współrzędnej punktu \(C\) od drugiej
**Etap 3: 1 pkt** – obliczenie \(|BC|=2\sqrt{13}\)
**Na każdym etapie: 0 pkt** – oznacza niepoprawną metodę albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8. R1) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.
