Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 34, czerwiec 2025, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,1)\) oraz \(C=(6,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Prosta \(k\) o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez wierzchołki \(B\) oraz \(D\) tego kwadratu.
Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu prostej \(k\).
Odpowiedź
\[P=\frac{45}2,\qquad a=-2,\qquad b=\frac{17}2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratu:
\[|AC|^{2}=(6-0)^{2}+(4-1)^{2}=45.\]
Pole kwadratu o przekątnej \(d\) jest równe \(\frac{d^{2}}2\), więc
\[P=\frac{45}2.\]
Przekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w swoich środkach. Środek \(AC\) to \(S=\left(3,\frac52\right)\), a współczynnik kierunkowy \(AC\) wynosi \(\frac{4-1}{6-0}=\frac12\), więc prosta \(BD\) ma współczynnik \(a=-2\) i przechodzi przez \(S\):
\[\frac52=-2\cdot3+b\quad\Longrightarrow\quad b=\frac{17}2.\]
**Odpowiedź.** \(P=\frac{45}2\), \(a=-2\), \(b=\frac{17}2\)
Klucz i zasady oceniania
**Część I**
**1 pkt** – \(\lvert AC\rvert=\sqrt{45}\).
**2 pkt** – pole \(\tfrac{45}{2}\).
**Część II**
**1 pkt** – \(S=\left(3,\tfrac{5}{2}\right)\), współczynnik \(AC\) równy \(\tfrac{1}{2}\) albo równoważny etap.
**2 pkt** – współczynnik \(a=-2\) albo równanie ogólne prostej.
**3 pkt** – \(a=-2\) i \(b=\tfrac{17}{2}\).
Łącznie maksymalnie 5 pkt.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii.
Wymaganie szczegółowe: 8.1) Wyznacza równanie prostej przez dwa punkty; 8.3) wyznacza prostą prostopadłą; 8.6) oblicza odległość punktów.
