Równania i nierówności
Zadanie 32, czerwiec 2026, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=4x-5\). Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).
Oblicz odległość punktu \(S\) od początku układu współrzędnych.
Odpowiedź
Punkt \(A\) jest punktem przecięcia prostych \(y=\frac{1}{2}x+9\) i \(y=4x-5\), więc \(A=(4,11)\). Ponieważ \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy \(B=(16,17)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(BD\), zatem \(S=(11,18)\). Szukana odległość jest równa \(\sqrt{11^{2}+18^{2}}=\sqrt{445}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: obliczenie A = (\(4\), \(11\)) albo równoważny istotny etap wskazany w kluczu.
**Krok \(2\).** pkt: obliczenie B = (\(16\), \(17\)) albo równoważne dane prowadzące do S.
**Krok \(3\).** pkt: obliczenie S = (\(11\), \(18\)).
**Krok \(4\).** pkt: obliczenie odległości √\(445\).
**Odpowiedź.** Punkt \(A\) jest punktem przecięcia prostych \(y=\frac{1}{2}x+9\) i \(y=4x-5\), więc \(A=(4,11)\). Ponieważ \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\), mamy \(B=(16,17)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(BD\), zatem \(S=(11,18)\). Szukana odległość jest równa \(\sqrt{11^{2}+18^{2}}=\sqrt{445}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie A = (4, 11) albo równoważny istotny etap wskazany w kluczu.
2 pkt: obliczenie B = (16, 17) albo równoważne dane prowadzące do S.
3 pkt: obliczenie S = (11, 18).
4 pkt: obliczenie odległości √445.
Wymagania podstawy programowej
1 pkt – zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka \(A\), np. \(\frac{1}{2}x+9=4x-5\).
