Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 14, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie
\[x^2-2ax+a^3-2a=0\]
ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Odpowiedź
\[a\in(\sqrt2,2).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie kwadratowe ma dwa różne dodatnie pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy
\[\Delta>0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1x_2>0.\]
Najpierw
\[\Delta=(-2a)^2-4(a^3-2a)=-4a(a+1)(a-2).\]
Warunek \(\Delta>0\) daje
\[a\in(-\infty,-1)\cup(0,2).\]
Ze wzorów Viète'a:
\[x_1+x_2=2a>0,\]
czyli \(a>0\), oraz
\[x_1x_2=a^3-2a=a(a-\sqrt2)(a+\sqrt2)>0.\]
Stąd
\[a\in(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty).\]
Część wspólna wszystkich trzech zbiorów jest równa
\[a\in(\sqrt2,2).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – wyznaczenie \(a\in(\sqrt2,2)\)
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie trzech warunków: \(\Delta>0\), \(x_1+x_2>0\), \(x_1x_2>0\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie dwóch z trzech niezależnych warunków
**2 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z trzech warunków
**1 pkt** – zapisanie kompletu warunków koniecznych i wystarczających dla dwóch różnych dodatnich pierwiastków
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.2 rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem.
