Liczby rzeczywiste
Zadanie 34, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Pole trójkąta prostokątnego jest równe \(60\,\mathrm{cm}^2\). Jedna przyprostokątna jest o \(7\,\mathrm{cm}\) dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Odpowiedź
Przeciwprostokątna ma długość \(17\,\mathrm{cm}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(b\) krótszą przyprostokątną; dłuższa ma wtedy długość \(b+7\). Z warunku na pole
\[\tfrac12\,b\,(b+7)=60,\qquad b^2+7b-120=0.\]
Wyróżnik wynosi \(\Delta=49+480=529=23^2\), więc
\[b=\frac{-7-23}{2}=-15\qquad\text{lub}\qquad b=\frac{-7+23}{2}=8.\]
Długość odcinka musi być dodatnia, więc \(b=8\), a druga przyprostokątna ma długość \(15\).
Z twierdzenia Pitagorasa
\[c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17.\]
**Odpowiedź.** Przeciwprostokątna ma długość \(17\,\mathrm{cm}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Oznaczam: \(a\), \(b\) – długości przyprostokątnych danego trójkąta.
Zapisuję układ równań
\[\begin{cases}a=b+7\\ \frac{1}{2}a\cdot b=60\end{cases}\]
Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą \(\frac{1}{2}(b+7)b=60\), którego pierwiastkami są liczby \(b=8\) oraz \(b=-15\).
Odrzucam ujemny pierwiastek, gdyż \(b\) jest długością odcinka. Zatem \(b=8\), \(a=8+7=15\).
Teraz obliczam długość przeciwprostokątnej \(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=\sqrt{289}=17\).
Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość \(17\) cm.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
