Funkcja kwadratowa
Zadanie 13.1, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{12x-84}{x-8}\]
dla każdego \(x\in(-\infty,8)\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie czworokąty \(OBCD\), w których:
- wierzchołek \(O\) ma współrzędne \((0,0)\),
- wierzchołki \(B\) oraz \(D\) są punktami przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią - odpowiednio - \(Ox\) i \(Oy\),
- wierzchołek \(C\) ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji \(f\).
**Wykaż, że pole \(P\) czworokąta \(OBCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej \(x\) punktu \(C\) jest określone wzorem**
\[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}.\]
Odpowiedź
\[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8},\qquad x\in(0,7).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami. Dla osi \(Ox\):
\[\frac{12x-84}{x-8}=0,\qquad 12x-84=0,\qquad x=7,\]
zatem \(B=(7,0)\).
Dla osi \(Oy\):
\[f(0)=\frac{12\cdot0-84}{0-8}=\frac{21}{2},\]
zatem \(D=\left(0,\frac{21}{2}\right)\).
Ponieważ punkt \(C\) leży na wykresie funkcji \(f\) i ma obie współrzędne dodatnie, możemy zapisać
\[C=\left(x,\frac{12x-84}{x-8}\right),\qquad 0<x<7.\]
Pole czworokąta \(OBCD\) jest sumą pól trójkątów \(OCD\) i \(OBC\):
\[P=P_{OCD}+P_{OBC}=\frac12\cdot\frac{21}{2}\cdot x+\frac12\cdot7\cdot\frac{12x-84}{x-8}.\]
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
\[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x(x-8)+8x-56}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}.\]
To należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(B\) i \(D\) oraz zapisanie drugiej współrzędnej punktu \(C\) w zależności od \(x\): \(B=(7,0)\), \(D=(0,\frac{21}{2})\), \(C=(x,\frac{12x-84}{x-8})\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie.
