Liczby rzeczywiste
Zadanie 12, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) miara kąta \(BAC\) jest dwa razy większa od miary kąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\). Niech \(\alpha\) oznacza miarę kąta \(ABC\), natomiast \(\beta\) - miarę kąta \(ADC\) (zobacz rysunek).
**Oblicz**
\[\frac{\tan\beta}{\sin(2\alpha)}.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[\frac{\tan\beta}{\sin(2\alpha)}=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|AD|=|BD|=c\), \(|AC|=b\). W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(180^\circ-3\alpha\), a w trójkącie \(ADC\) kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(180^\circ-(2\alpha+\beta)\).
Stosujemy twierdzenie sinusów do trójkątów \(ABC\) i \(ADC\):
\[\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{2c}{\sin(180^\circ-3\alpha)},\qquad \frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin(180^\circ-(2\alpha+\beta))}.\]
Po zastosowaniu wzorów redukcyjnych i wyeliminowaniu \(b\) oraz \(c\) otrzymujemy
\[2\sin\alpha\cdot\sin(2\alpha+\beta)=\sin\beta\cdot\sin(3\alpha).\]
Rozwijamy sinusy sumy kątów:
\[2\sin\alpha\,[\sin(2\alpha)\cos\beta+\cos(2\alpha)\sin\beta]\]
\[=\sin\beta\,[\sin(2\alpha)\cos\alpha+\cos(2\alpha)\sin\alpha].\]
Po przeniesieniu składników otrzymujemy
\[2\sin\alpha\sin(2\alpha)\cos\beta=\sin\beta\,[\sin(2\alpha)\cos\alpha-\cos(2\alpha)\sin\alpha].\]
Wyrażenie w nawiasie jest równe \(\sin\alpha\), więc
\[2\sin\alpha\sin(2\alpha)\cos\beta=\sin\beta\sin\alpha.\]
Trójkąt jest ostrokątny, zatem \(\sin\alpha\neq0\). Po podzieleniu przez \(\sin\alpha\cos\beta\) mamy
\[2\sin(2\alpha)=\tan\beta,\]
a więc
\[\frac{\tan\beta}{\sin(2\alpha)}=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(2\)
**4 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{2\sin\alpha}{\sin(3\alpha)}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}\) i zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów do \(\sin(3\alpha)\) oraz \(\sin(2\alpha+\beta)\)
**3 pkt** – wyeliminowanie długości odcinków z dwóch równości otrzymanych z twierdzenia sinusów, na przykład zapisanie \(\frac{2\sin\alpha}{\sin(3\alpha)}=\frac{\sin\beta}{\sin(2\alpha+\beta)}\)
**2 pkt** – zapisanie obu równości \(\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{2c}{\sin(180^\circ-3\alpha)}\) oraz \(\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin(180^\circ-(2\alpha+\beta))}\)
**1 pkt** – zapisanie jednej z powyższych równości wynikających z twierdzenia sinusów
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.1) Zdający wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens. VII.R5) Zdający korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych. VII.R7) Zdający stosuje twierdzenie sinusów.
