Potęgi i pierwiastki
Zadanie 13.2, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{12x-84}{x-8}\]
dla każdego \(x\in(-\infty,8)\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie czworokąty \(OBCD\), w których:
- wierzchołek \(O\) ma współrzędne \((0,0)\),
- wierzchołki \(B\) oraz \(D\) są punktami przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią - odpowiednio - \(Ox\) i \(Oy\),
- wierzchołek \(C\) ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji \(f\).
Pole \(P\) czworokąta \(OBCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej \(x\) punktu \(C\) jest określone wzorem
\[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}\]
dla \(x\in(0,7)\).
**Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\), dla których pole czworokąta \(OBCD\) jest największe. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[C=\left(8-2\sqrt2,\ 12-3\sqrt2\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(x\in(0,7)\) pole jest opisane funkcją
\[P(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-56}{x-8}.\]
Wyznaczamy jej pochodną:
\[P'(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{2x(x-8)-(x^2-56)}{(x-8)^2}=\frac{21}{4}\cdot\frac{x^2-16x+56}{(x-8)^2}.\]
Miejsca zerowe pochodnej spełniają równanie
\[x^2-16x+56=0,\]
stąd
\[x=8-2\sqrt2\quad\text{lub}\quad x=8+2\sqrt2.\]
Do przedziału \((0,7)\) należy tylko \(x=8-2\sqrt2\). Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni, a trójmian \(x^2-16x+56\) jest dodatni dla \(x<8-2\sqrt2\) i ujemny dla \(8-2\sqrt2<x<7\), funkcja \(P\) najpierw rośnie, a następnie maleje. Zatem osiąga wartość największą dla
\[x_C=8-2\sqrt2.\]
Druga współrzędna punktu \(C\) jest równa
\[y_C=f(8-2\sqrt2)=\frac{12(8-2\sqrt2)-84}{8-2\sqrt2-8}=12-3\sqrt2.\]
Ostatecznie
\[C=\left(8-2\sqrt2,12-3\sqrt2\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość największą dla \(x=8-2\sqrt2\), i obliczenie współrzędnych punktu \(C=(8-2\sqrt2,12-3\sqrt2)\)
**3 pkt** – uzasadnienie, na przykład przez badanie monotoniczności funkcji, że \(P\) przyjmuje wartość największą dla \(x=8-2\sqrt2\)
**2 pkt** – obliczenie należącego do dziedziny miejsca zerowego pochodnej: \(x=8-2\sqrt2\)
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), na przykład \(P'(x)=\frac{21}{4}\cdot\frac{2x(x-8)-(x^2-56)}{(x-8)^2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
