Geometria analityczna
Zadanie 24, maj 2024, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A=(-2,6)\), \(B=(10,2)\), a przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(P=(6,7)\).
**Oblicz długość boku \(BC\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(P\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Jeżeli \(C=(x_C,y_C)\), to
\[\frac{-2+x_C}{2}=6,\qquad\frac{6+y_C}{2}=7.\]
Stąd \(x_C=14\) i \(y_C=8\), więc \(C=(14,8)\). Zatem
\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku \(BC\): \(|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)
**1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(C=(14,8)\) lub wykonanie innego równoważnego istotnego kroku wskazanego w kluczu CKE
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
