Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, maj 2022, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).
**a)** Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem
\[P(b)=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}.\]
**b)** Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).
**c)** Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Odpowiedź
**a)** \(P(b)=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}2\)
**b)** \(D_P=\left(\frac92,9\right)\)
**c)** Największe pole ma trójkąt o bokach \(6,6,6\); jego pole wynosi \(9\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Podstawa trójkąta ma długość \(18-2b\), a połowa podstawy \(9-b\). Z twierdzenia Pitagorasa wysokość jest równa
\[h=\sqrt{b^2-(9-b)^2}=\sqrt{18b-81}.\]
Zatem
\[P(b)=\frac12(18-2b)\sqrt{18b-81}.\]
**b)** Nierówność trójkąta daje \(2b>18-2b\), czyli \(b>\frac92\), a dodatnia podstawa wymaga \(b<9\). Stąd \(D_P=(\frac92,9)\).
**c)** Ponieważ \(P(b)>0\) w dziedzinie, maksymalizujemy
\[Q(b)=P(b)^2=(9-b)^2(18b-81).\]
Mamy
\[Q'(b)=54(9-b)(6-b).\]
Funkcja rośnie dla \(b<6\) i maleje dla \(b>6\), zatem maksimum występuje dla \(b=6\). Podstawa ma wtedy długość \(18-2b=6\), więc trójkąt jest równoboczny, a jego pole wynosi \(9\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich podpunktów
**Podpunkt a): 2 pkt** – wyznaczenie podstawy i wysokości oraz otrzymanie wzoru na \(P(b)\)
**Podpunkt b): 1 pkt** – poprawna dziedzina \((\frac92,9)\)
**Podpunkt c): 4 pkt** – poprawna optymalizacja, wartość \(b=6\) i boki \(6,6,6\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
