Zadanie 15 – matura z matematyki maj 2021, poziom rozszerzony

Zbiornik ma wymiary \(6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}\). Dla boku podstawy \(x\) wysokość wynosi \(h=\frac{144}{x^{2}}\), a koszt \(f(x)=100x^{2}+\frac{43200}{x}\) na dziedzinie \(x\in[4,9]\). Pochodna \(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}\) zeruje się dla \(x=6\) i zmienia znak z ujemnego na dodatni; wtedy \(h=4\).

**Krok \(1\).** Metoda: zadanie optymalizacyjne — budujemy funkcję kosztu jednej zmiennej, ustalamy jej dziedzinę, a następnie szukamy wartości najmniejszej za pomocą pochodnej. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) długość krawędzi kwadratowego dna, a przez \(h\) wysokość zbiornika (w metrach). Z warunku na pojemność \(x^{2}h=144\), skąd \[h=\frac{144}{x^{2}}.\] **Krok \(3\).** Zbiornik jest otwarty od góry, więc koszt to koszt dna \(100x^{2}\) plus koszt czterech ścian bocznych \(75\cdot 4xh\). Zatem \[f(x)=100x^{2}+300x\cdot\frac{144}{x^{2}}=100x^{2}+\frac{43200}{x}.\] **Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Żaden wymiar nie przekracza \(9\), więc \(x\leq 9\) oraz \(h=\frac{144}{x^{2}}\leq 9\), czyli \(x^{2}\geq 16\), a stąd \(x\geq 4\). Zatem \(x\in[4,9]\). **Krok \(5\).** Obliczamy pochodną: \[f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}=\frac{200\left(x^{3}-216\right)}{x^{2}}.\] **Krok \(6\).** Miejsce zerowe pochodnej: \(x^{3}=216\), czyli \(x=6\), i \(6\in[4,9]\). **Krok \(7\).** Badamy znak: dla \(x\in(4,6)\) mamy \(x^{3}\lt 216\), więc \(f'(x)\lt 0\); dla \(x\in(6,9)\) mamy \(f'(x)\gt 0\). Funkcja \(f\) maleje na \([4,6]\) i rośnie na \([6,9]\), więc w punkcie \(x=6\) przyjmuje wartość najmniejszą. **Krok \(8\).** Dla \(x=6\) wysokość wynosi \(h=\frac{144}{36}=4\), a koszt \(f(6)=3600+7200=10800\) zł. Oba wymiary spełniają ograniczenie \(9\) m. **Uwaga.** Ograniczenie na wymiary działa w obie strony: górne \(x\leq 9\) i — poprzez wysokość — dolne \(x\geq 4\). Pominięcie dziedziny nie zmienia tu wyniku, ale bez niej nie da się poprawnie uzasadnić, że znaleziona wartość jest najmniejsza w rozważanym zakresie. **Odpowiedź.** Zbiornik o najmniejszym koszcie wykonania ma wymiary \(6\ \mathrm{m}\times 6\ \mathrm{m}\times 4\ \mathrm{m}\).

Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów: - zbudowanie modelu opisującego sytuację podaną w zadaniu - zbadanie modelu i jego własności - przeprowadzenie końcowych obliczeń. Pierwszy etap składa się z trzech kroków. Krok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (\(x\) – długość krawędzi podstawy zbiornika, \(h\) – wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru zbiornika: \(h=\frac{144}{x^{2}}\) lub \(x=\sqrt{\frac{144}{h}}\). Krok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania \(f\) zbiornika za pomocą jednej zmiennej: \(f(x)=100x^{2}+4x\cdot\frac{144}{x^{2}}\cdot 75\) lub \(f(h)=100\cdot\frac{144}{h}+4\cdot\sqrt{\frac{144}{h}}\cdot h\cdot 75\). Krok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji \(f\): \(D_{x}=[4,\,9]\) lub \(D_{h}=\left[\frac{16}{9},\,9\right]\). Drugi etap składa się z trzech kroków. Za poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie kroki też były wykonane poprawnie. **1 pkt** – Krok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^{2}}=200\left(x-\frac{216}{x^{2}}\right)\) lub \(f'(h)=-\frac{14400}{h^{2}}+\frac{1800}{\sqrt{h}}\). **1 pkt** – Krok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji \(f\) – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(x=6\) (lub \(h=4\)). **1 pkt** – Krok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji \(f\): \(f'(x)>0\) dla \(x\in(6,\,9)\), \(f'(x)<0\) dla \(x\in(4,\,6)\) lub \(f'(h)>0\) dla \(h\in(4,\,9)\), \(f'(h)<0\) dla \(h\in\left(\frac{16}{9},\,4\right)\) oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej \(x\) (lub zmiennej \(h\)), dla której funkcja \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą, np.: funkcja \(f\) zmiennej \(x\) (określona na przedziale \([4,\,9]\)) jest malejąca w przedziale \([4,\,6]\) oraz rosnąca w przedziale \([6,\,9]\), więc w punkcie \(x=6\) funkcja \(f\) osiąga najmniejszą wartość. LUB funkcja \(f\) zmiennej \(h\) (określona na przedziale \(\left[\frac{16}{9},\,9\right]\)) jest malejąca w przedziale \(\left[\frac{16}{9},\,4\right]\) oraz rosnąca w przedziale \([4,\,9]\), więc w punkcie \(h=4\) funkcja \(f\) osiąga najmniejszą wartość. **1 pkt** – Etap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika jest najmniejszy: \(x=6\), \(h=4\). Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **Uwagi:** 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(x\) (czy też \(h\)), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy zdający: a) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(f\); LUB b) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(x\) (czy też \(h\)) funkcja \(f\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty. 3. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje \(0\) punktów za II i III etap. 4. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci \(f(x)=ax^{2}+\frac{b}{x}\) (gdzie \(a>0\), \(b>0\)), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej \(5\) punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). 5. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co najwyżej \(5\) punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci \(f(x)=ax^{2}+\frac{b}{x}\) (gdzie \(a>0\), \(b>0\)), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap). 6. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze \(R\setminus\{0\}\), to nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.