Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 32, maj 2017, poziom podstawowy
Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu
\[y=-2x+10.\]
Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[P_{ABC}=\frac{243}{7}=34\frac57.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik kierunkowy prostej \(AM\) jest równy
\[\frac{9-0}{2-(-4)}=\frac32,\]
więc \(AM:y=\frac32x+6\). Punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) to \(B=(5,0)\), zatem \(|AB|=9\). Rozwiązując układ
\[\frac32x+6=-2x+10\]
otrzymujemy \(C=(\frac87,\frac{54}{7})\). Wysokość trójkąta opuszczona na \(AB\) ma długość \(\frac{54}{7}\), więc
\[P_{ABC}=\frac12\cdot9\cdot\frac{54}{7}=\frac{243}{7}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie pola \(P_{ABC}=\frac{243}{7}\)
**4 pkt** – wyznaczenie \(y_C=\frac{54}{7}\) i \(|AB|=9\) albo współrzędnych punktów \(B\) i \(C\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(|AB|=9\) i poprawnego równania prowadzącego do punktu \(C\), albo wyznaczenie punktu \(C\) bez punktu \(B\)
**2 pkt** – wyznaczenie równania \(AM:y=\frac32x+6\) albo równoważny istotny etap rozwiązania
**1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(AM\), równego \(\frac32\), albo punktu \(B=(5,0)\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
geometria analityczna - równanie prostej, punkt przecięcia prostych i pole trójkąta w układzie współrzędnych.
