Prawdopodobieństwo i statystyka
Zadanie 12, maj 2002, poziom rozszerzony
\(A\) i \(B\) są zdarzeniami losowymi i \(P(B)>0\).
Wykaż, że \(P(A\mid B)\leq\frac{1-P(A')}{P(B)}\).
Odpowiedź
Ponieważ \(A\cap B\subseteq A\), mamy \(P(A\cap B)\leq P(A)=1-P(A')\). Dzieląc nierówność przez \(P(B)>0\), otrzymujemy tezę.
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(P(B)>0\), więc prawdopodobieństwo warunkowe \(P(A\mid B)\) jest określone i
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]
Zdarzenie \(A\cap B\) zawiera się w zdarzeniu \(A\), a prawdopodobieństwo jest monotoniczne, zatem
\[P(A\cap B)\leq P(A).\]
Z własności zdarzenia przeciwnego \(P(A)=1-P(A^{\prime})\), więc
\[P(A\cap B)\leq1-P(A^{\prime}).\]
Dzielimy obie strony przez liczbę dodatnią \(P(B)\), co zachowuje kierunek nierówności:
\[\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\leq\frac{1-P(A^{\prime})}{P(B)}.\]
Lewa strona jest z definicji równa \(P(A\mid B)\), zatem
\[P(A\mid B)\leq\frac{1-P(A^{\prime})}{P(B)},\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Nierówność \(P(A\mid B)\leq\frac{1-P(A^{\prime})}{P(B)}\) zachodzi dla dowolnych zdarzeń \(A\), \(B\) o \(P(B)>0\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wykorzystanie zależności \(A\cap B\subseteq A\) i zapisanie \(P(A\cap B)\leq P(A)\)
**1 pkt** – zastosowanie własności prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego i zapisanie \(P(A\cap B)\leq1-P(A^{\prime})\)
**1 pkt** – wykorzystanie definicji prawdopodobieństwa warunkowego i zapisanie \(P(A\mid B)\cdot P(B)\leq1-P(A^{\prime})\)
**1 pkt** – wykorzystanie założenia \(P(B)>0\) do wykazania tezy
Łącznie \(4\) pkt.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
