Czworokąty
Zadanie 12, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Punkt \(A=(-2{,}6)\) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu \(82\),\(5\). Przekątna BD zawiera się w prostej \(2x-y-5=0\). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: \(A=(-2,6)\) — para współrzędnych, nie liczba \(-2{,}6\). Pole rombu wynosi \(82{,}5\).
w zapisie zastanym współrzędne rozdzielono makrem \(\{,\}\), przez co \(A=(-2{,}6)\) renderuje się jako pojedyncza liczba; klucz CKE prowadzi do \(C=(10,0)\), a rachunek zgadza się wyłącznie dla punktu \(A\) o współrzędnych \(-2\) i \(6\).Odpowiedź
\[C=(10,0),\qquad B=\left(\tfrac{27}{4},\tfrac{17}{2}\right),\qquad D=\left(\tfrac54,-\tfrac52\right)\]
(oznaczenia \(B\) i \(D\) można zamienić).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątne rombu są prostopadłe i połowią się, więc punkt \(S\) ich przecięcia jest spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(A=(-2,6)\) do prostej \(2x-y-5=0\).
Prosta \(AC\) jest prostopadła do \(BD\), więc ma wektor kierunkowy \([2,-1]\):
\[(x,y)=(-2+2t,\ 6-t).\]
Podstawiamy do równania \(BD\):
\[2(-2+2t)-(6-t)-5=0,\qquad 5t=15,\qquad t=3,\]
czyli \(S=(4,3)\) oraz
\[C=2S-A=(10,0).\]
Długość przekątnej \(AC\):
\[\lvert AC\rvert=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5.\]
Z pola rombu
\[82{,}5=\tfrac12\cdot6\sqrt5\cdot\lvert BD\rvert,\qquad \lvert BD\rvert=\frac{165}{6\sqrt5}=\frac{11\sqrt5}{2}.\]
Wierzchołki \(B\) i \(D\) leżą na prostej \(BD\) w odległości \(\frac{11\sqrt5}{4}\) od \(S\). Wektor jednostkowy kierunku tej prostej to \(\frac{1}{\sqrt5}[1,2]\), więc
\[B=S+\frac{11\sqrt5}{4}\cdot\frac{[1,2]}{\sqrt5}=(4,3)+\left[\tfrac{11}{4},\tfrac{11}{2}\right]=\left(\tfrac{27}{4},\tfrac{17}{2}\right),\]
\[D=S-\left[\tfrac{11}{4},\tfrac{11}{2}\right]=\left(\tfrac54,-\tfrac52\right).\]
**Odpowiedź.** \(C=(10,0)\), \(B=\left(\frac{27}{4},\frac{17}{2}\right)\), \(D=\left(\frac54,-\frac52\right)\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**1–2 pkt** – wyznaczenie punktu \(S=(4,3)\) przecięcia przekątnych.
**3–4 pkt** – wyznaczenie \(C=(10,0)\) i długości \(\lvert BD\rvert=\frac{11\sqrt5}{2}\).
**5–6 pkt** – wyznaczenie współrzędnych \(B\) i \(D\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 12. (0–6)
Punkt A = ( −2, 6 ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 82,5. Przekątna BD zawiera się
w prostej l o równaniu 2x − y − 5 = 0 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego
rombu.
Rozwiązanie (I sposób)
Wyznaczamy równanie prostej k zawierającej przekątną AC rombu (prosta k jest prostopadła
do prostej l, punkt A leży na prostej k.
1
k : y = − x + 5
2
y = 2x − 5
Z układu równań 1 wyznaczamy współrzędne punktu S = ( 4, 3 ) (środek
y = − x + 5
2
symetrii rombu). Punkt S jest jednocześnie środkiem przekątnej AC, co pozwala obliczyć
współrzędne wierzchołka C = ( 10, 0 ) .
Obliczamy długość przekątnej AC = 6 5 , a następnie, wykorzystując informację o polu
rombu, obliczamy długość drugiej przekątnej.
1
AC ⋅ BD = 82, 5
2
1
⋅ 6 5 ⋅ BD = 82, 5
2
11
BD = 5
2
Punkty B oraz D leżą na okręgu o środku S = ( 4, 3 ) i promieniu 1 BD = 11 5 oraz na
2 4
prostej l. Wyznaczamy ich współrzędne rozwiązując układ równań
