Zadanie 13 – matura z matematyki lipiec 2020, poziom rozszerzony

\(147\). Możliwe zestawy cyfr to {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(4\),\(7\)}, co daje \(7\cdot 6=42\) liczb, oraz {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(2\),\(2\),\(7\)}, co daje \(7\)·C(\(6\),\(2\))=\(105\) liczb.

Iloczyn cyfr ma być równy \(28=2^2\cdot7\). Żadna cyfra nie może być zerem, a czynnik \(7\) musi pochodzić od cyfry \(7\) — bo \(7\) jest pierwsza i żadna inna cyfra od \(1\) do \(9\) nie dzieli się przez \(7\). Zatem dokładnie jedna cyfra jest siódemką, a iloczyn pozostałych sześciu cyfr wynosi \(4\). Sześć cyfr o iloczynie \(4\) to albo jedna czwórka i pięć jedynek, albo dwie dwójki i cztery jedynki. Otrzymujemy więc dwa rozłączne zestawy cyfr. **Zestaw \(\{1,1,1,1,1,4,7\}\).** Miejsce dla siódemki wybieramy na \(7\) sposobów, a spośród pozostałych sześciu miejsc jedno dla czwórki — na \(6\) sposobów. Reszta to jedynki. Daje to \(7\cdot6=42\) liczby. Żadna z nich nie zaczyna się zerem, bo zer w ogóle nie ma. **Zestaw \(\{1,1,1,1,2,2,7\}\).** Miejsce dla siódemki wybieramy na \(7\) sposobów, a dwa miejsca dla dwójek spośród pozostałych sześciu na \(\binom62=15\) sposobów — dwójki są nierozróżnialne, więc tu liczymy kombinacje, nie wariacje. Daje to \(7\cdot15=105\) liczb. Zestawy są rozłączne, zatem \[42+105=147.\] **Odpowiedź.** \(147\)

**1 pkt** – gdy zapisze że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy \(28\) może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka lub cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka. **2 pkt** – gdy obliczy ile jest liczb siedmiocyfrowych zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka lub zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka: odpowiednio \(42\) i \(105\). **3 pkt** – gdy obliczy, że jest \(147\) siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy \(28\).

Zadanie 13. (0–3) Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28. Rozwiązanie Zauważamy, że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy 28 może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka lub cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka. Obliczamy ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych zbudowanych z cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka. Cyfrę 7 możemy zapisać na jednym z siedmiu miejsc, cyfrę 4 na jednym z sześciu miejsc, a pozostałe pięć miejsc wypełnią jedynki. Stosujemy regułę mnożenia: 7 ⋅ 6 ⋅1 = 42 . Obliczamy ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka. Wybieramy najpierw miejsce dla cyfry 7, następnie dwa miejsca dla dwóch cyfr 2, a pozostałe miejsca wypełnią jedynki.  6  Stosujemy kolejny raz regułę mnożenia: 7 ⋅   ⋅1 = 7 ⋅15 ⋅1 = 105 .  2  Teraz stosujemy regułę dodawania: 42 +105 = 147 . Jest 147 siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.