Czworokąty
Zadanie 8, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Punkty \(A=(-5,5)\), \(C=(8,6)\) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Prosta o równaniu \(y=2x\) jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(D\) oraz pole tego trapezu.
Odpowiedź
B=(\(7\),−\(1\)), D=(\(0\),\(10\)), a pole trapezu wynosi \(75\). Proste zawierające podstawy są prostopadłe do osi y=\(2x\). Punkty przecięcia podstaw z osią, M=(\(1\),\(2\)) i N=(\(4\),\(8\)), są środkami odpowiednio AB i CD, co pozwala odbić A i C. Następnie |AB|=\(6\sqrt{5}\), |CD|=\(4\sqrt{5}\) i wysokość wynosi \(3\sqrt{5}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii trapezu równoramiennego jest prostopadła do obu podstaw i przechodzi przez ich środki. Rzutujemy więc \(A\) i \(C\) na prostą \(y=2x\) — prostopadłe do niej mają współczynnik kierunkowy \(-\frac12\).
Dla \(A=(-5,5)\): prosta \(y=-\frac12x+\frac52\) przecina oś w punkcie \(M=(1,2)\), który jest środkiem \(AB\), zatem
\[B=2M-A=(7,-1).\]
Dla \(C=(8,6)\): prosta \(y=-\frac12x+10\) przecina oś w punkcie \(N=(4,8)\), który jest środkiem \(CD\), zatem
\[D=2N-C=(0,10).\]
Długości podstaw i wysokość:
\[\lvert AB\rvert=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt5,\qquad \lvert CD\rvert=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt5,\qquad h=\lvert MN\rvert=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5.\]
Pole trapezu:
\[P=\frac{6\sqrt5+4\sqrt5}{2}\cdot3\sqrt5=5\sqrt5\cdot3\sqrt5=75.\]
**Odpowiedź.** \(B=(7,-1)\), \(D=(0,10)\), \(P=75\)
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
*Schemat oceniania I*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wyznaczenie równań prostych \(AB\) i \(CD\): \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\), \(y=-\frac{1}{2}x+10\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie współrzędnych punktów \(M\) i \(N\): \(M=(1,2)\), \(N=(4,8)\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie współrzędnych punktów \(B\) i \(D\) jako symetrycznych do punktów \(A\) i \(C\) względem prostej \(y=2x\).
**Rozwiązanie pełne** – obliczenie pola trapezu \(P=75\) oraz podanie współrzędnych \(B=(7,-1)\), \(D=(0,10)\).
*Schemat oceniania II*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie układu równań lub równania, z którego można wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np. \((a+5)^{2}+(2a-5)^{2}=(a-8)^{2}+[\ldots]\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie współrzędnych środka okręgu \(S=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3}\right)\) oraz promienia okręgu \(r=\sqrt{\frac{425}{9}}\) i podanie równania okręgu \(\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{425}{9}\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie współrzędnych punktów \(B\) i \(D\), np. poprzez rozwiązanie układów równań.
**Rozwiązanie pełne** – obliczenie pola trapezu \(P=75\) oraz podanie współrzędnych \(B\), \(D\).
Jeżeli zdający nie wyznaczy współrzędnych wierzchołków \(B\) i \(D\), ale obliczy pole trapezu, to przyznajemy \(3\) punkty. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie długości podstaw oraz wysokość trapezu i nie obliczy pola trapezu, to przyznajemy \(4\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości podstaw i wysokości trapezu i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu, to przyznajemy \(4\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: symetria osiowa i obliczenia długości oraz pola w układzie współrzędnych.
