Trójkąty
Zadanie 30, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Proste \(l\) i \(k\) przecinają się w punkcie \(A=(0,4)\). Prosta \(l\) wyznacza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o polu \(8\), zaś prosta \(k\) - trójkąt o polu \(10\). Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkt \(A\) oraz punkty przecięcia prostych \(l\) i \(k\) z osią \(Ox\).
Odpowiedź
\[P=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oba trójkąty mają wysokość równą \(4\), bo proste przechodzą przez \(A=(0,4)\). Jeśli dodatni punkt przecięcia z osią \(Ox\) ma współrzędną \(x_0\), to pole wynosi \(\frac12\cdot x_0\cdot4=2x_0\). Dla prostej \(l\) otrzymujemy \(x_l=4\), a dla \(k\) mamy \(x_k=5\). Szukany trójkąt ma podstawę długości \(1\) na osi \(Ox\) i wysokość \(4\), więc \[P=\frac12\cdot1\cdot4=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne pole \(2\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie punktów przecięcia z osią \(Ox\): \((4,0)\) i \((5,0)\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, pole trójkąta w układzie współrzędnych.
