Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 37, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wybieramy losowo jedną liczbę ze zbioru \(\{1,2,3\}\) i gdy otrzymamy liczbę \(n\), to rzucamy \(n\) razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego orła. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź
\[\frac{17}{24}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(B_n\) oznacza zdarzenie, że wylosowano liczbę \(n\), a \(A\) zdarzenie otrzymania co najmniej jednego orła. Mamy
\[P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=\frac13.\]
Najłatwiej policzyć prawdopodobieństwa warunkowe przez zdarzenia przeciwne, czyli same reszki:
\[P(A\mid B_1)=1-\left(\frac12\right)^1=\frac12,\]
\[P(A\mid B_2)=1-\left(\frac12\right)^2=\frac34,\]
\[P(A\mid B_3)=1-\left(\frac12\right)^3=\frac78.\]
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym
\[\begin{aligned}P(A)&=\sum_{n=1}^3P(A\mid B_n)P(B_n)\\&=\frac12\cdot\frac13+\frac34\cdot\frac13+\frac78\cdot\frac13\\&=\frac{17}{24}.\end{aligned}\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawny nieskracalny ułamek \(\frac{17}{24}\) z pełnym uzasadnieniem
**3 pkt** – poprawne trzy prawdopodobieństwa warunkowe i zastosowanie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym z drobnym błędem rachunkowym
**2 pkt** – poprawne wartości \(\frac12,\frac34,\frac78\)
**1 pkt** – rozpoznanie podziału na trzy przypadki albo użycie zdarzenia przeciwnego
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.3. R. Zdający korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
