Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 35, sierpień 2024, poziom podstawowy
Losujemy liczbę ze zbioru \(C={0{,}4{,}5{,}7{,}9}, a\) potem z \(D={1{,}2{,}3}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma będzie większa od \(9\).
Odpowiedź
Jest \(5\cdot 3=15\) wyników. Sumę większą od \(9\) dają pary (\(7\),\(3\)), (\(9\),\(1\)), (\(9\),\(2\)), (\(9\),\(3\)), więc P(A)=\(\frac{4}{15}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\) i niezależnie jedną ze zbioru \(D\), więc zdarzeniami elementarnymi są pary uporządkowane \((c,d)\). Wszystkie są jednakowo prawdopodobne, a z reguły mnożenia
\[|\Omega|=5\cdot3=15.\]
Największa liczba w zbiorze \(D\) to \(3\), więc suma przekroczy \(9\) tylko dla dużych wartości \(c\). Sprawdzamy elementy zbioru \(C\) kolejno:
dla \(c\in\{0,4,5\}\) suma nie przekracza \(5+3=8\), więc żadna para nie sprzyja;
dla \(c=7\) mamy \(7+d>9\) tylko przy \(d=3\), czyli jedna para \((7,3)\);
dla \(c=9\) mamy \(9+d>9\) dla każdego \(d\in\{1,2,3\}\), czyli trzy pary.
Łącznie \(|A|=1+3=4\), zatem
\[P(A)=\frac{4}{15}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac4{15}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: określenie 15 wyników albo wszystkich 4 wyników sprzyjających.
2 pkt: P(A)=4/15.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne.
Wymaganie szczegółowe: 10.2) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
