Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 36, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Niech \(A\), \(B\) będą zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}8\), to
\[P(A\mid B)\geq0{,}625.\]
Symbol \(P(A\mid B)\) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe.
Odpowiedź
\[P(A\mid B)\geq0{,}625.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]
Z własności sumy zdarzeń
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq1.\]
Stąd
\[P(A\cap B)\geq P(A)+P(B)-1=0{,}7+0{,}8-1=0{,}5.\]
Ponieważ \(P(B)=0{,}8\), otrzymujemy
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\geq\frac{0{,}5}{0{,}8}=0{,}625.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny dowód nierówności
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie dolnego ograniczenia \(P(A\cap B)\geq0{,}5\)
**1 pkt** – poprawne użycie wzoru na \(P(A\mid B)\) albo wzoru na \(P(A\cup B)\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.2. R. Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.
