Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Niech \(A\), \(B\) będą zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli
\[P(A\cap B)=P(A)P(B),\]
to
\[P(A\cap B')=P(A)P(B').\]
Symbol \(B'\) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(B\).
Odpowiedź
\[P(A\cap B')=P(A)P(B').\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzenia \(A\cap B\) oraz \(A\cap B'\) są rozłączne, a ich suma jest równa \(A\). Zatem
\[P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B).\]
Korzystając z założenia \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), otrzymujemy
\[\begin{aligned}P(A\cap B')&=P(A)-P(A)P(B)\\&=P(A)(1-P(B))\\&=P(A)P(B').\end{aligned}\]
To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – pełny poprawny dowód
**1 pkt** – zapisanie \(P(A\cap B')=P(A)-P(A\cap B)\) i rozpoczęcie podstawienia założenia
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.
