Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 36, sierpień 2024, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych \((x,y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(9,11)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu
\[y=\frac12x-1,\]
a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu
\[y=2x-4.\]
**Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) oraz długość odcinka \(BS\).**
Odpowiedź
\[B=(6,2),\qquad |BS|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\). Rozwiązujemy
\[\frac12x-1=2x-4,\]
skąd \(x=2\) i \(y=0\), więc \(A=(2,0)\).
Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Dla \(C=(x_C,y_C)\) mamy
\[\frac{2+x_C}{2}=9,\qquad\frac{0+y_C}{2}=11,\]
więc \(C=(16,22)\).
Prosta \(BC\) jest równoległa do \(AD\), ma zatem współczynnik kierunkowy \(2\) i przechodzi przez \(C\):
\[y-22=2(x-16),\qquad y=2x-10.\]
Punkt \(B\) jest przecięciem prostych \(AB\) i \(BC\):
\[\frac12x-1=2x-10.\]
Stąd \(x=6\), \(y=2\), czyli \(B=(6,2)\). Na koniec
\[|BS|=\sqrt{(9-6)^2+(11-2)^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu \(B\) i długości \(BS\) oraz wyniki \(B=(6,2)\), \(|BS|=\sqrt{90}\)
**4 pkt** – obliczenie \(B=(6,2)\) albo obliczenie równoważnego punktu przeciwległego i odpowiedniej długości
**3 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC:y=2x-10\), obliczenie \(C=(16,22)\) albo wykonanie równoważnego etapu wskazanego w kluczu CKE
**2 pkt** – obliczenie \(C=(16,22)\), środka odpowiedniego boku albo zapisanie poprawnego układu zależności pozwalającego wyznaczyć współrzędne
**1 pkt** – obliczenie \(A=(2,0)\), wyznaczenie jednej potrzebnej prostej lub zapisanie poprawnej zależności wynikającej z własności środka przekątnej
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
8.3) Zdający wyznacza równanie prostej równoległej do danej prostej w postaci kierunkowej i przechodzącej przez dany punkt.
8.4) Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych.
8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.
8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów.
