Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, maj 2015, poziom rozszerzony
W pierwszej urnie umieszczono \(3\) kule białe i \(5\) kul czarnych, a w drugiej urnie \(7\) kul białych i \(2\) kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac5{11}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(A\) oznacza wylosowanie dwóch białych kul z drugiej urny. Rozpatrujemy kolor kuli przeniesionej z pierwszej urny. Po przeniesieniu białej kuli i dołożeniu dwóch białych druga urna zawiera \(10\) białych i \(2\) czarne kule, zatem
\[P(A\mid B)=\frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{2}}=\frac{15}{22}.\]
Po przeniesieniu czarnej kuli i dołożeniu dwóch czarnych druga urna zawiera \(7\) białych i \(5\) czarnych kul, więc
\[P(A\mid C)=\frac{\binom72}{\binom{12}{2}}=\frac7{22}.\]
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym
\[P(A)=\frac38\cdot\frac{15}{22}+\frac58\cdot\frac7{22}=\frac{80}{176}=\frac5{11}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wynik \(\frac5{11}\) uzyskany poprawną metodą
**3 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym z drobnym błędem rachunkowym
**2 pkt** – poprawne obliczenie obu prawdopodobieństw warunkowych \(\frac{15}{22}\) i \(\frac7{22}\)
**1 pkt** – poprawne rozdzielenie doświadczenia na przypadek przeniesienia kuli białej i czarnej
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
10. Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka - twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (R10.3).
