Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 13, maj 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójmian kwadratowy
\[f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4.\]
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\), spełniające warunek
\[x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.\]
Odpowiedź
\[m=\frac{12+\sqrt{109}}5.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy \(m\neq-1\) oraz
\[\Delta=4(m-2)^2-4(m+1)(4-m)=4m(2m-7)>0,\]
czyli \(m\in(-\infty,0)\cup(\frac72,\infty)\). Warunek z treści zapisujemy jako
\[(x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-x_1^2-x_2^2)=0.\]
Pierwiastki są różne. Równość \(x_1+x_2=0\) prowadzi do \(m=2\), które nie spełnia warunku \(\Delta>0\). Pozostaje więc \(x_1^2+x_2^2=1\). Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=-\frac{2(m-2)}{m+1},\qquad x_1x_2=\frac{4-m}{m+1}.\]
Podstawienie do \((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1\) daje
\[5m^2-24m+7=0,\]
a więc
\[m=\frac{12-\sqrt{109}}5\quad\text{lub}\quad m=\frac{12+\sqrt{109}}5.\]
Pierwsza wartość nie spełnia \(\Delta>0\); druga spełnia wszystkie warunki.
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna wartość \(m=\frac{12+\sqrt{109}}5\) z weryfikacją warunków
**4 pkt** – rozwiązanie równania \(5m^2-24m+7=0\) i poprawne odrzucenie jednego pierwiastka
**3 pkt** – sprowadzenie warunku do \(x_1^2+x_2^2=1\) oraz zastosowanie wzorów Viète'a
**2 pkt** – poprawne rozłożenie warunku na czynniki i rozpatrzenie przypadków
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie warunku dwóch różnych pierwiastków: \(m\in(-\infty,0)\cup(\frac72,\infty)\), z uwzględnieniem \(m\neq-1\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
3. Równania i nierówności - stosowanie wzorów Viète'a i badanie warunków istnienia dwóch różnych pierwiastków (R3.1).
