Geometria płaska
Zadanie 30, maj 2012, poziom podstawowy
W trójkącie \(ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \(A\) i \(B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \(P\). Uzasadnij, że kąt \(APB\) jest rozwarty.
Odpowiedź
Kąt \(APB\) jest rozwarty.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\lvert\angle A\rvert=2\alpha\), \(\lvert\angle B\rvert=2\beta\), \(\lvert\angle C\rvert=\gamma\). Dwusieczne dzielą kąty \(A\) i \(B\) na połowy, więc w trójkącie \(ABP\) kąty przy \(A\) i \(B\) mają miary \(\alpha\) i \(\beta\).
Z sumy kątów trójkąta \(ABC\):
\[2\alpha+2\beta+\gamma=180^\circ.\]
Kąt \(\gamma\) jest kątem trójkąta, więc \(\gamma>0^\circ\); stąd
\[2\alpha+2\beta<180^\circ,\qquad \alpha+\beta<90^\circ.\]
Z sumy kątów trójkąta \(ABP\):
\[\lvert\angle APB\rvert=180^\circ-(\alpha+\beta)>180^\circ-90^\circ=90^\circ,\]
a ponieważ jest to kąt trójkąta, jest mniejszy od \(180^\circ\). Kąt \(APB\) jest więc rozwarty, co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Kąt \(APB\) jest rozwarty.
Klucz i zasady oceniania
2 pkt: pełne rozumowanie uzasadniające, że ∠APB > 90°. Oficjalny schemat nie przewiduje osobnego progu 1 pkt.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c).
