Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 30, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie pięć oczek.
Odpowiedź
P(A) = \(\frac{11}{36}\). Zdarzeniem przeciwnym jest niewyrzucenie piątki w żadnym rzucie, więc P(A) = \(1\) − (\(\frac{5}{6}\))\(2 = 1\) − \(\frac{25}{36 = 11}\)/\(36\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary wyników obu rzutów. Kostka jest symetryczna, więc wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne i możemy zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\).
\[|\Omega|=6\cdot6=36.\]
Zdarzenie „co najmniej raz wypadnie pięć oczek" liczymy przez dopełnienie. Jego zaprzeczeniem jest zdarzenie \(A^{\prime}\): w żadnym rzucie nie wypadła piątka. W każdym rzucie sprzyja mu \(5\) wyników, więc z reguły mnożenia \(|A^{\prime}|=5\cdot5=25\).
Stąd
\[P(A)=1-P(A^{\prime})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{11}{36}\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(P(A)=\frac{11}{36}\)
**1 pkt** – zapisanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych \(|\Omega|=6^2=36\) albo opisanie zbioru zdarzeń elementarnych za pomocą tabeli, ALBO wypisanie (czy zaznaczenie w tabeli lub na drzewie) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), ALBO obliczenie \(|A|=11\) bez wskazania zdarzeń niepoprawnych — i niedoprowadzenie rozwiązania do końca
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (10.3).
