Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 32, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Z pojemnika, w którym jest siedem kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy kule oznaczone liczbami, z których pierwsza będzie mniejsza od \(4\) i druga będzie parzysta.
Odpowiedź
P(A) = \(\frac{4}{21}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wyjaśnienie:
Krok \(1\). Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Pierwsze losowanie odbywa się z siedmiu dostępnych kul. Mamy informację, że losowanie jest bez zwracania, więc wylosowana kula nie wraca już do pojemnika, czyli w drugim losowaniu dostępnych będzie już tylko sześć kul. To oznacza, że zdarzeń elementarnych będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=7\cdot6=42\).
Krok \(2\). Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której liczba na pierwszej kuli jest równa \(1\), \(2\) lub \(3\), a na drugiej \(2\), \(4\) lub \(6\). Moglibyśmy zapisać, że zgodnie z regułą mnożenia jest ich \(|A|=3\cdot3=9\), ale trzeba byłoby tutaj nanieść jeszcze poprawkę, że zdarzenie \((2;2)\) nie może wystąpić (bo losowanie jest bez zwracania), więc tych zdarzeń tak naprawdę jest \(|A|=9-1=8\). Dla pewności możemy je sobie wypisać:
\[(1;2), (1;4), (1;6) \\
(2;4), (2;6) \\
(3;2), (3;4), (3;6)\]
Krok \(3\). Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
\[P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}\]
Klucz i zasady oceniania
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=42\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych oraz wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania lub dalej rozwiązujesz błędnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=42\) oraz podasz, ile jest łącznie zdarzeń sprzyjających \(|A|=8\) (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
ALBO
• Gdy policzysz zdarzenia sprzyjające jako \(3\cdot3=9\), zapominając odrzucić parę \((2;2)\), która przy losowaniu bez zwracania wystąpić nie może.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Prawdopodobieństwo i statystyka – oblicza prawdopodobieństwo losowania bez zwracania.
