Inne zagadnienia
Zadanie 33, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(8\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(40^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{1024}{3\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}\approx484{,}9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(H=8\) wysokość ostrosłupa. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, którego przekątna ma długość \(a\sqrt2\); spodek wysokości leży w środku tej przekątnej.
Krawędź boczna, jej rzut na płaszczyznę podstawy (połowa przekątnej) i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę \(40^{\circ}\). Wysokość leży naprzeciw tego kąta, a połowa przekątnej — przy nim, więc
\[\operatorname{tg}40^{\circ}=\frac{H}{\frac{a\sqrt2}{2}}.\]
Stąd
\[\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{8}{\operatorname{tg}40^{\circ}},\qquad a=\frac{16}{\sqrt2\,\operatorname{tg}40^{\circ}},\]
a więc
\[a^{2}=\frac{256}{2\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}=\frac{128}{\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}.\]
Objętość ostrosłupa wynosi
\[V=\frac13\,a^{2}H=\frac13\cdot\frac{128}{\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}\cdot8=\frac{1024}{3\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}.\]
Przyjmując \(\operatorname{tg}40^{\circ}\approx0{,}8391\), otrzymujemy \(V\approx484{,}9\).
**Odpowiedź.** \(V=\frac{1024}{3\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}\approx484{,}9\)
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(V=\frac{1024}{3\operatorname{tg}^{2}40^{\circ}}\approx484{,}9\)
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie elementów ostrosłupa prawidłowego czworokątnego z kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy i obliczanie jego objętości.
