Ciąg arytmetyczny
Zadanie 15, maj 2026, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny.
Oblicz \(k\). Zapisz obliczenia.
Podpowiedź
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Najpierw wyznaczamy wartość \(a_k\), a dopiero potem jego numer \(k\).
Rozwiązanie
Mamy \(a_1=3\cdot1+5=8\) oraz \(a_9=3\cdot9+5=32\). Dla ciągu geometrycznego \((a_1,a_9,a_k)\) zachodzi \[a_9^2=a_1a_k,\] więc \(a_k=\frac{32^2}{8}=128\). Zatem \(3k+5=128\), stąd \(k=41\).
Sprawdzenie
Wyrazy \(8,32,128\) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc wynik spełnia warunek.
Odpowiedź
Mamy \(a_1=8\) i \(a_9=32\). Ponieważ \((a_1,a_9,a_k)\) jest ciągiem geometrycznym, \(a_9^{2}=a_1a_k\), więc \(a_k=128\). Z równania \(3k+5=128\) otrzymujemy \(k=41\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzoru ogólnego \(a_n=3n+5\) obliczamy dwa pierwsze wyrazy trójki:
\[a_1=3+5=8,\qquad a_9=27+5=32.\]
Trójka \((a_1,a_9,a_k)\) jest ciągiem geometrycznym, więc kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[a_9^{2}=a_1\cdot a_k,\qquad 32^{2}=8\cdot a_k,\qquad a_k=\frac{1024}{8}=128.\]
Pozostaje znaleźć numer tego wyrazu:
\[3k+5=128,\qquad 3k=123,\qquad k=41.\]
**Odpowiedź.** \(k=41\)
Klucz i zasady oceniania
adanie 15. (0—3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
4. Stosowanie i tworzenie strategii przy
VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
arytmetycznych i geometrycznych, do
nietypowych.
rozwiązywania zadań
Zasady oceniania
3 pkt — zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: k = 41.
2 pkt— obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)
ALBO
— zapisanie równania z jedną niewiadomą k, wynikającego z własności ciągu
geometrycznego, np. 322 =
1 pkt— obliczenie wyrazów ał oraz ag: ał =
8, = 32
ALBO
— wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między
wyrazami ał, ag, Q, np. (ag)2
0 pkt — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (Cli, ał, cłk), gdzie I jest liczbą naturalną
większą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie wszystkich
wyrazów tego ciągu lub zapisanie równania z jedną niewiadomą k wynikającego
z własności ciągu geometrycznego oraz 1 punkt za konsekwentne obliczenie k).
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu (an) i obliczamy wyrazy ał oraz ag:
32
Zatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, ak) jest równy -g- = 4
Stąd.
ak = 32 128
Obliczamy k:
ak = 128
31<+5 = 128
k = 41
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu (an) i zapisujemy:
ak = 3k+5
Z warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3k + 5) jest geometryczny.
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:
322 -8. (3k + 5)
128 = 3k +5
32-4-8 = 8
(3k+5) /•.8
= 41
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymaganie szczegółowe:** VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań
