Ciąg arytmetyczny
Zadanie 14.2, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^{2}-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe.
| Stwierdzenie | P | F |
|---|:---:|:---:|
| Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. | P | F |
| Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi. | P | F |
Odpowiedź
**F, P.** Różnica \(a_{n+1}-a_n=6n\) nie jest stała, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Ponadto \(a_n=3n(n-1)\), a iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest parzysty, więc każdy wyraz ciągu jest parzysty.
Rozwiązanie krok po kroku
Sprawdzamy, czy różnica kolejnych wyrazów jest stała:
\[a_{n+1}-a_n=3(n+1)^{2}-3(n+1)-\left(3n^{2}-3n\right)=6n.\]
Wartość ta zależy od \(n\), więc ciąg **nie** jest arytmetyczny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.
Wzór ogólny można zapisać w postaci \(a_n=3n(n-1)\). Liczby \(n\) i \(n-1\) są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich jest parzysta, a zatem iloczyn \(n(n-1)\) jest parzysty. Wtedy \(a_n=3\cdot n(n-1)\) też jest liczbą parzystą — drugie stwierdzenie jest prawdziwe.
**Odpowiedź.** **F, P**
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe: VI.4) Sprawdza, czy ciąg jest arytmetyczny; I.2) dowodzi podzielności liczb całkowitych.
