Ciągi
Zadanie 30, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem
\[a_n=n^2-2n-24\quad\text{dla }n\geq1?\]
Odpowiedź
Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.
Rozwiązanie krok po kroku
Szukamy liczb naturalnych \(n\geq1\), dla których
\[n^2-2n-24<0.\]
Rozkładamy trójmian na czynniki:
\[(n-6)(n+4)<0.\]
Nierówność zachodzi dla \(-4<n<6\). Po uwzględnieniu warunku \(n\geq1\) otrzymujemy
\[n\in\{1,2,3,4,5\}.\]
Ciąg ma zatem \(5\) wyrazów ujemnych.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna odpowiedź: \(5\) wyrazów ujemnych, wraz z uzasadnieniem
**1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(-4<n<6\) lub wskazanie poprawnych indeksów, lecz brak poprawnej odpowiedzi końcowej
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
