Funkcje
Zadanie 29, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac14\). Oblicz
\[3+2\tan^2\alpha.\]
Odpowiedź
\[3+2\tan^2\alpha=\frac{47}{15}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z zależności \(\tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\) oraz \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\):
\[\tan^2\alpha=\frac{\left(\frac14\right)^2}{1-\left(\frac14\right)^2}=\frac{\frac1{16}}{\frac{15}{16}}=\frac1{15}.\]
Zatem
\[3+2\tan^2\alpha=3+\frac2{15}=\frac{47}{15}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawny wynik \(\frac{47}{15}\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\tan^2\alpha=\frac1{15}\), lecz błąd w końcowym obliczeniu
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
6.4. Zdający stosuje zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) oraz \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
