Trójkąty
Zadanie 29, maj 2016, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że
\[|\angle DEC|=|\angle BGF|=90^\circ\]
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Odpowiedź
Trójkąty \(CDE\) i \(FBG\) są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(|\angle ACB|=\alpha\). Ponieważ \(ABC\) jest prostokątny, \(|\angle ABC|=90^\circ-\alpha\). W trójkącie \(CDE\) mamy \(|\angle DEC|=90^\circ\), więc \(|\angle CDE|=90^\circ-\alpha\). W trójkącie \(FBG\) mamy \(|\angle FGB|=90^\circ\) oraz \(|\angle FBG|=90^\circ-\alpha\), więc \(|\angle BFG|=\alpha\). Odpowiednie kąty obu trójkątów są równe, zatem trójkąty są podobne.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne rozumowanie prowadzące do podobieństwa
**1 pkt** – wskazanie jednej właściwej pary równych kątów ostrych lub podobieństwa obu trójkątów do \(ABC\), bez pełnego uzasadnienia
**0 pkt** – brak koniecznego postępu albo przyjęcie konkretnych miar kątów
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3 rozpoznawanie trójkątów podobnych i cechy podobieństwa.
