Równania i nierówności
Zadanie 13, maj 2006, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg \((a_n)\), gdzie
\[a_n=\frac{5n+6}{10(n+1)}\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\).
a) Zbadaj monotoniczność ciągu \((a_n)\).
b) Oblicz \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\).
c) Podaj największą liczbę \(a\) i najmniejszą liczbę \(b\) takie, że dla każdego \(n\) spełniony jest warunek \(a\leqslant a_n\leqslant b\).
Odpowiedź
a) ciąg jest malejący, bo \(a_{n+1}-a_n=\dfrac{-1}{10(n+1)(n+2)}\lt 0\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac12\); c) \(a=\frac12\), \(b=\frac{11}{20}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy trzy standardowe pytania o ciąg zadany wzorem ogólnym. Monotoniczność badamy, licząc różnicę \(a_{n+1}-a_n\) i sprawdzając jej znak; granicę liczymy, dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\); podpunkt c) będzie wnioskiem z dwóch pierwszych.
**Krok \(2\).** Wypisujemy wyraz następny, wstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\): \[a_{n+1}=\frac{5(n+1)+6}{10\bigl((n+1)+1\bigr)}=\frac{5n+11}{10(n+2)}.\]
**Krok \(3\).** Liczymy różnicę, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika \(10(n+1)(n+2)\): \[a_{n+1}-a_n=\frac{5n+11}{10(n+2)}-\frac{5n+6}{10(n+1)}=\frac{(5n+11)(n+1)-(5n+6)(n+2)}{10(n+1)(n+2)}.\]
**Krok \(4\).** Rozwijamy licznik: \[(5n+11)(n+1)=5n^2+16n+11,\qquad (5n+6)(n+2)=5n^2+16n+12,\] więc licznik jest równy \(5n^2+16n+11-5n^2-16n-12=-1\). Zatem \[a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{10(n+1)(n+2)}.\]
**Krok \(5\).** Dla każdego \(n\geqslant1\) mianownik \(10(n+1)(n+2)\) jest dodatni, a licznik równy \(-1\), więc \(a_{n+1}-a_n\lt0\). Każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli ciąg jest malejący.
**Krok \(6\).** Podpunkt b). Dzielimy licznik i mianownik przez \(n\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10n+10}=\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac6n}{10+\frac{10}{n}}=\frac{5+0}{10+0}=\frac12.\]
**Krok \(7\).** Podpunkt c), liczba \(b\). Skoro ciąg jest malejący, jego największym wyrazem jest wyraz pierwszy: \[a_1=\frac{5\cdot1+6}{10\cdot(1+1)}=\frac{11}{20}.\] Nierówność \(a_n\leqslant b\) musi zachodzić w szczególności dla \(n=1\), więc \(b\geqslant\frac{11}{20}\); z drugiej strony \(b=\frac{11}{20}\) rzeczywiście ogranicza cały ciąg od góry. Najmniejsze takie \(b\) to \(\frac{11}{20}\).
**Krok \(8\).** Liczba \(a\). Ciąg maleje i zbliża się do \(\frac12\), nigdy tej wartości nie osiągając, więc \(a_n\gt\frac12\) dla każdego \(n\), czyli liczba \(a=\frac12\) spełnia warunek \(a\leqslant a_n\). Żadna liczba większa od \(\frac12\) już go nie spełni, bo wyrazy ciągu schodzą dowolnie blisko \(\frac12\). Największe takie \(a\) to \(\frac12\).
**Uwaga.** Warto zauważyć niesymetryczność obu odpowiedzi: liczba \(b=\frac{11}{20}\) jest wyrazem ciągu (to \(a_1\)), a liczba \(a=\frac12\) wyrazem ciągu nie jest — jest tylko jego granicą. Mimo to obie spełniają warunek \(a\leqslant a_n\leqslant b\), bo nierówności są nieostre, a z \(a_n\gt\frac12\) tym bardziej wynika \(a_n\geqslant\frac12\).
**Odpowiedź.** a) ciąg jest malejący, bo \(a_{n+1}-a_n=\dfrac{-1}{10(n+1)(n+2)}\lt 0\); b) \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac12\); c) \(a=\frac12\), \(b=\frac{11}{20}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 13.** (\(5\) pkt)
Dany jest ciąg \((a_{n})\), gdzie \(a_{n}=\frac{5n+6}{10(n+1)}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
a) Zbadaj monotoniczność ciągu \((a_{n})\).
b) Oblicz \(\lim_{n\to\infty}a_{n}\).
c) Podaj największą liczbę \(a\) i najmniejszą liczbę \(b\) takie, że dla każdego \(n\) spełniony jest warunek \(a\le a_{n}\le b\).
a) Aby określić monotoniczność ciągu obliczam różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\).
\(a_{n+1}-a_{n}=\frac{5n+11}{10(n+2)}-\frac{5n+6}{10(n+1)}=\frac{(5n+11)(n+1)-(5n+6)(n+2)}{10(n+1)(n+2)}=\frac{5n^{2}+5n+11n+11-5n^{2}-10n-6n-12}{10(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{10(n+1)(n+2)}\)
\(\frac{-1}{10(n+1)(n+2)}<0\) dla każdej liczby naturalnej, zatem ciąg jest malejący.
b) \(\lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10(n+1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10n+10}=\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{6}{n}}{10+\frac{10}{n}}=\frac{1}{2}\)
c) Ciąg jest malejący, więc najmniejszą liczbą, która spełnia nierówność \(a_{n}\le b\) jest pierwszy wyraz tego ciągu, czyli \(b=\frac{11}{20}\), natomiast największą liczbą spełniającą nierówność \(a\le a_{n}\) jest granica tego ciągu, czyli \(a=\frac{1}{2}\).
| Nr czynności | 13.1. | 13.2. | 13.3. | 13.4. | 13.5. |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
