Inne zagadnienia
Zadanie 12, maj 2006, poziom rozszerzony
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant1\) prawdziwy jest wzór
\[1\cdot3\cdot(1!)^2+2\cdot4\cdot(2!)^2+\ldots+n(n+2)(n!)^2=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1.\]
Odpowiedź
Wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(S_n\) lewą stronę wzoru:
\[S_n=\sum_{k=1}^{n}k(k+2)(k!)^2.\]
Dowodzimy przez indukcję, że \(S_n=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\).
**Krok początkowy.** Dla \(n=1\):
\[L=1\cdot3\cdot(1!)^2=3,\qquad P=\bigl[(1+1)!\bigr]^2-1=(2!)^2-1=4-1=3.\]
Zatem \(L=P\) i wzór jest prawdziwy dla \(n=1\).
**Założenie indukcyjne.** Przyjmijmy, że dla pewnej liczby naturalnej \(n\geq1\)
\[S_n=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1.\]
**Krok indukcyjny.** Wykażemy, że wtedy \(S_{n+1}=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\). Do sumy \(S_n\) dodajemy wyraz o numerze \(n+1\), czyli \((n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\):
\[S_{n+1}=S_n+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2.\]
Korzystamy z założenia indukcyjnego i wyłączamy \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias:
\[S_{n+1}=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2
=\bigl[(n+1)!\bigr]^2\bigl(1+(n+1)(n+3)\bigr)-1.\]
Upraszczamy wyrażenie w nawiasie:
\[1+(n+1)(n+3)=1+n^{2}+4n+3=n^{2}+4n+4=(n+2)^{2}.\]
Stąd
\[S_{n+1}=\bigl[(n+1)!\bigr]^2(n+2)^{2}=\bigl[(n+1)!\,(n+2)\bigr]^2-1=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1,\]
bo \((n+1)!\,(n+2)=(n+2)!\). Otrzymaliśmy tezę dla \(n+1\).
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
**Odpowiedź.** Wzór \(1\cdot3\cdot(1!)^2+2\cdot4\cdot(2!)^2+\ldots+n(n+2)(n!)^2=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):**
**1 pkt** – sprawdzenie prawdziwości wzoru dla \(n=1\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej
**2 pkt** – przeprowadzenie kroku indukcyjnego: dodanie wyrazu \((n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) i wyłączenie \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias
**1 pkt** – doprowadzenie do postaci \(\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\) i powołanie się na zasadę indukcji matematycznej
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** przeprowadzanie dowodu metodą indukcji matematycznej — sprawdzenie kroku początkowego, poprawne sformułowanie założenia i tezy indukcyjnej oraz wykonanie kroku indukcyjnego z przekształceniem silni.
