Równania i nierówności
Zadanie 1, maj 2005, poziom podstawowy
W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą, albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia.
Odpowiedź
Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli białej po dołożeniu kuli białej: \(p_{1}=\dfrac49=\dfrac{28}{63}\), \(p_{2}=\dfrac37=\dfrac{27}{63}\), zatem \(p_{1}\gt p_{2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na prawdopodobieństwo klasyczne: losujemy jedną kulę, każda kula jest jednakowo prawdopodobna, więc \[P(\text{kula biała})=\frac{\text{liczba kul białych}}{\text{liczba wszystkich kul}}.\] Mamy dwa różne pudełka do porównania, więc policzymy dwa ułamki i sprawdzimy, który jest większy.
**Krok \(2\).** Zapisujemy stan wyjściowy: \(3\) kule białe i \(5\) czarnych, razem \(3+5=8\) kul.
**Krok \(3\).** Pierwszy przypadek — dokładamy jedną kulę białą. Wtedy kul białych jest \(3+1=4\), a wszystkich \(8+1=9\), więc \[p_1=\frac49.\]
**Krok \(4\).** Drugi przypadek — usuwamy jedną kulę czarną. Kul białych nadal jest \(3\), czarnych zostaje \(5-1=4\), a wszystkich \(8-1=7\), więc \[p_2=\frac37.\]
**Krok \(5\).** Porównujemy ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika \(63\): \[p_1=\frac49=\frac{4\cdot7}{9\cdot7}=\frac{28}{63},\qquad p_2=\frac37=\frac{3\cdot9}{7\cdot9}=\frac{27}{63}.\]
**Krok \(6\).** Ponieważ \(\dfrac{28}{63}\gt\dfrac{27}{63}\), zachodzi \(p_1\gt p_2\), czyli szansa na wylosowanie kuli białej jest większa po dołożeniu kuli białej.
**Uwaga.** Nie wystarczy zauważyć, że w pierwszym przypadku kul białych jest więcej. Zmienia się bowiem także liczba wszystkich kul: w pierwszym przypadku pudełko jest liczniejsze (\(9\) kul), w drugim uboższe (\(7\) kul), a większy mianownik zmniejsza ułamek. Dopiero porównanie samych ułamków rozstrzyga sprawę — i różnica jest naprawdę niewielka, bo \(\frac{28}{63}\) i \(\frac{27}{63}\) dzieli tylko \(\frac{1}{63}\).
**Odpowiedź.** Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli białej po dołożeniu kuli białej: \(p_{1}=\dfrac49=\dfrac{28}{63}\), \(p_{2}=\dfrac37=\dfrac{27}{63}\), zatem \(p_{1}\gt p_{2}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**1.1. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli spośród \(4\) kul białych i \(5\) czarnych: \(p_{1}=\frac{4}{9}\)
**1.2. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli spośród \(3\) kul białych i \(4\) czarnych: \(p_{2}=\frac{3}{7}\)
**1.3. (1 pkt)** – porównanie obliczonych wyników i sformułowanie odpowiedzi: \(p_{1}>p_{2}\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
